Če število $\sqrt 5 $ ne bi bilo iracionalno, bi bilo racionalno in bi ga lahko zapisali kot okrajšan ulomek: $\sqrt 5=\frac{m}{n}$. Enakost kvadriramo in preuredimo: $5n^2 =m^2$. Izraz $5n^2 $ je večkratnik števila $5$, torej je tudi $m^2$ večkratnik števila 5. Zato je $m$ večkratnik števila $5$: $m=5k$. Dobimo $n^2=5k^2 $. Iz istega razmisleka izhaja, da je tudi $m$ večkratnik števila 5. Torej ulomek $\frac{m}{n}$ ni okrajšan ulomek. Zato $\sqrt 5$ ni racionalno število.

Če $\sqrt 5-2$ ne bi bilo iracionalno, bi bilo racionalno: $\sqrt 5-2=r$, $r\in \mathbb Q$. Torej je $\sqrt 5=r+2$; to je vsota dveh racionalnih števil in zato racionalno število. To pa je v nasprotju s tem, da je $\sqrt 5$ iracionalno število.

Če $2\cdot \sqrt 5$ ne bi bilo iracionalno, bi bilo racionalno: $2\cdot \sqrt 5=r$, $r\in \mathbb Q$. Torej je $\sqrt 5=\frac{r}{2}$; to je količnik dveh racionalnih števil in zato racionalno število. To pa je v nasprotju s tem, da je $\sqrt 5$ iracionalno število.

Če $\frac{\sqrt 5}{2}$ ne bi bilo iracionalno, bi bilo racionalno: $\frac{\sqrt 5}{2}=r$, $r\in \mathbb Q$. Torej je $\sqrt 5=2\cdot r$; to je zmnožek dveh racionalnih števil in zato racionalno število. To pa je v nasprotju s tem, da je $\sqrt 5$ iracionalno število.