Licenca
To delo je na voljo pod pogoji slovenske licence Creative Commons 2.5:

priznanje avtorstva - nekomercialno - deljenje pod enakimi pogoji.

Celotna licenca je na voljo na spletu na naslovu http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/si/. V skladu s to licenco je dovoljeno vsakemu uporabniku delo razmnoževati, distribuirati, javno priobčevati, dajati v najem in tudi predelovati, vendar samo v nekomercialne namene in ob pogoju, da navede avtorja oziroma avtorje in izdajatelja tega dela. Če uporabnik delo predela, kar pomeni, da ga spremeni, preoblikuje, prevede ali uporabi to delo v svojem delu, lahko predelavo dela ponudi na voljo le pod pogoji, ki so enaki pogojem iz te licence oziroma pod enako licenco.

Dokazi

Katero število dobimo, če kvadriramo poljubno sodo število? Kaj znaš povedati o kvadratu poljubnega sodega števila?

Kako si si pomagal pri razmišljanju, kateri od zgornjih odgovorov je pravilen? Si morebiti izračunal nekaj kvadratov konkretnih sodih števil? Dopolnimo tabelo:

sodo število  kvadrat števila
 2   4
 4   16
 8   64
 6   36

Ali lahko o veljavnosti trditve, da je kvadrat poljubnega sodega števila sodo število, sklepamo iz nekaj konkretnih primerov? Seveda ne. Mogoče smo imeli le srečo in med izbranimi primeri nismo našli takega primera (protiprimera), za katerega trditev ni veljavna. Za vsako sodo število posebej pa veljavnosti trditve ne moremo preveriti, saj je sodih števil neskončno mnogo. Dokaza se bomo morali lotiti drugače.

Ker je poljubno sodo število večkratnik števila $2$, ga lahko zapišemo kot $2k$, kjer je $k$ celo število. Število $2k$ kvadrirajmo. $$(2k)^2=(2k) \cdot (2k) = 4k^2$$ Dobili smo torej večkratnik števila 4 in hkrati tudi večkratnik števila $2$, saj je $4k^2=2 \cdot 2k^2$. Torej je kvadrat poljubnega sodega števila res vedno sodo število.

Dokaz je zaporedje logičnih sklepov, ki nas prepriča o veljavnosti trditve. Pri dokazu lahko uporabimo aksiome in že dokazane trditve. Trditve ne moremo dokazati tako, da pokažemo veljavnost le za nekaj od vseh možnih primerov. Če pa najdemo tak primer, za katerega trditev ne velja, pravimo, da smo trditev ovrgli s protiprimerom.

Zgled

Ovrzi trditev Središče trikotniku očrtane krožnice vedno leži v notranjosti trikotnika. Poišči torej trikotnik, za katerega trditev ne bo veljala.

<NAZAJ
>NAPREJ4/661