Lastnosti deljivosti

Deljivost je ena izmed relacij v množici naravnih števil. Ponovi, kaj je relacija in katere lastnosti raziskujemo pri relacijah.

Deljivost je zagotovo refleksivna, saj vsako naravno število deli samega sebe ($a=1\cdot a$). Iz zadnjega zapisa hkrati izhaja, da število $1$ deli vsako naravno število:

$a|a$ in $1|a$

Simetričnost pri deljivosti zagotovo ne velja. Poišči par števil, s katerim se prepričaš o tem.

Oglej si števila v spodnjem nizu in razmisli, v kakšni povezavi so. Uporabiš lahko preiskovalni okvirček.

Katero od števil bi lahko postavili za številom $240$?

$720$

$300$

$360$

Katera lastnost druži sosednji števili na levi strani? Kaj lahko sklepaš o velikosti števil, ki nadaljujejo zapisan niz?

Oglej si še poljubna tri zaporedna števila iz opazovanega niza števil in dopolni ugotovitev:

prvo število deli drugo, drugo deli tretje. Opazim, da prvo število deli tudi tretje število.

Zadnjo ugotovitev lahko zapišemo s simboli:
$$a|b \wedge b|c \Rightarrow a|c$$

To pomeni, da je relacija deljivost tranzitivna.

Premislimo še antisimetričnost:

Kaj lahko sklepamo o velikosti števil $a$ in $b$, če zanju velja $a|b$ in $b|a$? Potem je $a \le b$ in hkrati $b\le a$. To pa je mogoče le tedaj, ko sta števili $a$ in $b$ enaki.

Drži. Ne drži.

Relacija deljivosti je refleksivna, antisimetrična in tranzitivna.

<NAZAJ

>NAPREJ147/661

Refleksivnost	$aRa$
Simetričnost	$aRb \Rightarrow bRa$
Antisimetričnost	$aRb \wedge bRa \Rightarrow a=b$
Tranzitivnost	$aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc$