Licenca
To delo je na voljo pod pogoji slovenske licence Creative Commons 2.5:

priznanje avtorstva - nekomercialno - deljenje pod enakimi pogoji.

Celotna licenca je na voljo na spletu na naslovu http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/si/. V skladu s to licenco je dovoljeno vsakemu uporabniku delo razmnoževati, distribuirati, javno priobčevati, dajati v najem in tudi predelovati, vendar samo v nekomercialne namene in ob pogoju, da navede avtorja oziroma avtorje in izdajatelja tega dela. Če uporabnik delo predela, kar pomeni, da ga spremeni, preoblikuje, prevede ali uporabi to delo v svojem delu, lahko predelavo dela ponudi na voljo le pod pogoji, ki so enaki pogojem iz te licence oziroma pod enako licenco.

Logistična krivulja

Znanstveniki za prihajajoča leta  napovedujejo zmanjšanje naravnega prirasta. S sošolcem se pogovori o možnih vzrokih.

Model za rast populacije so znanstveniki izboljšali tako, da so izbrali logistično funkcijo, $f(x)=\frac{1}{1+e^x}$, in jo ustrezno prilagodili.

$N(t)=\frac{8,7}{1+e^{-0,44\cdot(t-95)}}+1,3$, kjer je $t$ čas v letih od 1900 dalje.

Izračunaj, koliko ljudi bo na Zemlji leta $2200$, če upoštevaš logistično funkcijo.
Pazi: predpis je prirejen za štetje let od $1900$ dalje.

Logistično krivuljo uporabimo za opis pojavov, pri katerih eksponentna rast na neki točki preneha. Vrednosti se od te točke dalje večajo počasneje in nikoli ne presežejo predpisane zgornje meje.

Zgled

Opravili smo raziskavo, v kateri smo opazovali razmnoževanje bakterij, ki se vsake štiri ure podvojijo. Na bakterijsko gojišče smo nanesli $10$ bakterijskih celic. Predvidevamo, da je njihova življenjska doba daljša od časa našega poskusa.

a) Predpostavimo, da imajo bakterije na voljo dovolj hrane in prostora za neomejeno razmnoževanje. Katera krivulja bi se podatkom najbolje prilegala?
Izračunaj število bakterij po $4$, $8$, $12$, $16$ in $20$ urah. Podatke zapiši v preglednici in predstavi z grafom.

b) Predpostavimo, da se razmnoževanje, ko zmanjka hrane in prostora, najprej upočasni in nato preneha. Katera krivulja bi se podatkom najbolje prilegala?
Podatke modeliraj z logistično funkcijo:

$\displaystyle{N(t)=\frac{N_{max}}{1+c\cdot e^{at}}}$ 
Pomagaj si s programi za risanje funkcij in upoštevaj, da je največje možno število bakterij $N_{max}=1\,000$ in spremenljivka $t$ pomeni pretečeni čas.

<NAZAJ
>NAPREJ621/703