Vrtenine

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Zgled

Pravokotni trapez, ki ima višino, dolgo $18\,\rm cm$, osnovnici pa $16\,\rm cm$ in $10\,\rm cm$, zavrtimo okrog krajšega kraka, kot prikazuje animacija.

a) Katero telo je nastala vrtenina?
b) Izračunaj prostornino vrtenine.
c) Izračunaj površino vrtenine.

Prisekan stožec.

Dolžina višine odrezanega stožca $v_m$
$16 : 10 = (v_m+18) : v_m \Rightarrow v_m = 30\,\rm cm$
Prostornina vrtenine
$V=V_v-V_m$
$V=\frac{1}{3} \pi r_v^2 v_v-\frac{1}{3} \pi r_m^2 v_m$
$V=\frac{1}{3} \pi \cdot 16^2 \cdot 48-\frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot 30$
$V \ \dot{=} \ 9726,4\,\rm cm^3$

Površina vrtenine je enaka vsoti ploščin spodnjega kroga $S_s$, zgornjega kroga $S_z$ in plašča, ki je enaka razliki ploščin plaščev celotnega stožca $S_{pl,v}$ in odrezanega stožca $S_{pl,m}$.
$P=S_s+S_z+(S_{pl,v}-S_{pl,m})$
$P=\pi r_v^2+\pi r_m^2+(\pi r_v s_v-\pi r_m s_m)$
$P=\pi \cdot 16^2+\pi \cdot 10^2+(\pi \cdot 16^2 \cdot 16 \sqrt{10}-\pi \cdot 10^2 \cdot 10 \sqrt{10})$
$P\dot{=}31 876\,\rm cm^2$

Če bi zgornji trapez zavrteli okrog

daljše osnovnice, bi dobili zlepek valja in stožca.

krajše osnovnice, bi dobili valj z luknjo v obliki stožca.

Zgled

Pravokotniku s stranicama, dolgima $2\,\rm dm$ in $3\,\rm dm$, izrežemo v krajišču četrtino kroga s polmerom, dolgim $1\,\rm dm$. Nato dobljeni lik zavrtimo okrog osi, kot prikazuje animacija.

a) Izračunaj prostornino vrtenine.

b) Izračunaj površino vrtenine.

Prostornina je enaka razliki prostornin valja $V_v$ in polkrogle $V_p$.

$V=V_v-V_p$
$V=\pi r_v^2v-\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \pi r_p^3}{3}$
$V=\pi \cdot 2^2 \cdot 3-\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \pi \cdot 1^3}{3}$
$V=\frac{34}{3} \pi\,\rm dm^3$

Površina je enaka vsoti ploščin:

spodnjega kroga $S_s$,
plašča valja $S_{pl,v}$,
kolobarja $S_k$,
polovice sfere $S_f$.

$P=S_s+S_{pl,v}+S_k+\frac{1}{2}S_f$
$P=\pi r_v^2+2 \pi r_v v+(\pi r_v^2-\pi r_k^2)+\frac{1}{2} \cdot 4 \pi r_k^2$
$P=\pi \cdot 2^2+2 \pi \cdot 2 \cdot 3+(\pi \cdot 2^2-\pi \cdot 1^2)+\frac{1}{2} \cdot 4 \pi \cdot 1^2$
$P=21 \pi\,\rm dm^2$