Razmerja

Zgled

V kocki $ABCDEFGH$ je točka $U$ razpolovišče roba $CG$, točka $V$ pa presečišče daljic $AU$ in $CE$. Določi razmerje $|AV|:|VU|$.

Nalogo lahko rešimo podobno kot smo rešili prejšnji zgled (v ravnini), le da tokrat izberemo tri bazne vektorje. Poskusi sam.

Premisli, kako bi se problem dal prevesti na problem v ravnini.

Povzemimo postopek za reševanje nalog z razmerji.

1. Če rešujemo naloge z razmerji v ravnini, si vedno izberemo dva nekolinearna vektorja za bazo, če pa v prostoru, si izberemo tri nekoplanarne vektorje. Z njimi potem izražamo vse druge vektorje.

2. Primerni vektor izrazimo na dva načina z baznimi vektorji.

3. Dobljena izraza izenačimo. Po preureditvi dobimo linearno kombinacijo baznih vektorjev, ki je enaka ničelnemu vektorju.

4. Upoštevamo, da je ta linearna kombinacija enaka ničelnemu vektorju le, če so vsi koeficienti ob baznih vektorjih enaki $0$. Zapišemo sistem enačb. Iz rešitve sistema razberemo iskano razmerje.

Zgled

Naj bo $T$ težišče trikotnika $ABC$ in $O$ poljubna točka v prostoru. Pokaži, da velja: $$\overset{\Large\rightharpoonup}{OT}=\frac{1}{3}(\overset{\Large\rightharpoonup}{OA}+\overset{\Large\rightharpoonup}{OB}+\overset{\Large\rightharpoonup}{OC})$$Pomagaš si lahko s spodnjimi slikami.