Naj bosta $A(x_1,y_1)$ in $B(x_2,y_2)$ točki na elipsi, dani z enačbo $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Enačba sekante skozi točki $A$ in $B$: $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Ker $A$ in $B$ ležita na elipsi, velja:

$\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$ in $\displaystyle \frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$

Enačbi odštejemo $\frac{y_2^2}{b^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{x_2^2}{a^2}$ in preuredimo $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-\frac{b^2(x_1+x_2)}{a^2(y_1+y_2)}$.

To upoštevamo v enačbi sekante: $$y-y_1=-\frac{b^2(x_1+x_2)}{a^2(y_1+y_2)} (x-x_1)$$

Ko se točka $B$ premakne v točko $A$, sekanta preide v tangento. Tedaj se vrednost $x_2$ spremeni v $x_1$, vrednost $y_2$ pa v $y_1$.

Enačba tangente: $y-y_1=-\frac{2b^2x_1}{2a^2y_1} (x-x_1)$

Enačbo preuredimo: $\displaystyle \frac{xx_1}{a^2}+\frac{y\,\!y_1}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}$.

Upoštevamo, da je $\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$ in zapišemo $\displaystyle \frac{xx_1}{a^2}+\frac{y\,\!y_1}{b^2}=1$.

Enačba tangente: $$ \frac{xx_1}{a^2}+\frac{y\,\!y_1}{b^2}=1$$

$b^2x^2+a^2(kx+n)^2-a^2b^2 =0$

$b^2x^2+a^2k^2x^2+2a^2knx+a^2n^2-a^2b^2 =0$

$(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2knx+(n^2-b^2)a^2=0$

Ker iščemo pogoj, pri katerem je premica tangenta elipse, mora biti diskriminanta kvadratne enačbe enaka $0$.

$4a^4k^2n^2-4a^2(b^2+a^2k^2)(n^2-b^2)=0$

Enačbo uredimo in dobimo $a^2k^2+b^2=n^2$.

Tangentni  pogoj za elipso: $$a^2k^2+b^2=n^2$$

Naj bosta $A(x_1,y_1)$ in $B(x_2,y_2)$ točki na hiperboli, dani z enačbo $ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Enačba sekante skozi točki $A$ in $B$: $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Ker $A$ in $B$ ležita na hiperboli, velja:

$\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1$ in $\displaystyle \frac{x_2^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1$

Enačbi odštejemo $\frac{y_2^2}{b^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=\frac{x_2^2}{a^2}-\frac{x_1^2}{a^2}$ in preuredimo $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{b^2(x_1+x_2)}{a^2(y_1+y_2)}$.

To upoštevamo v enačbi sekante: $$y-y_1=\frac{b^2(x_1+x_2)}{a^2(y_1+y_2)} (x-x_1)$$

Ko se točka $B$ premakne v točko $A$, sekanta preide v tangento. Tedaj se vrednost $x_2$ spremeni v $x_1$, vrednost $y_2$ pa v $y_1$.

Enačba tangente: $y-y_1=\frac{2b^2x_1}{2a^2y_1} (x-x_1)$

Enačbo preuredimo: $\displaystyle \frac{xx_1}{a^2}-\frac{y\,\!y_1}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}$.

Upoštevamo, da je $\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1$ in zapišemo $\displaystyle \frac{xx_1}{a^2}-\frac{y\,\!y_1}{b^2}=1$.

Enačba tangente: $$ \frac{xx_1}{a^2}-\frac{y\,\!y_1}{b^2}=1$$

$b^2x^2-a^2(kx+n)^2-a^2b^2 =0$

$b^2x^2-a^2k^2x^2-2a^2knx-a^2n^2-a^2b^2 =0$

$(b^2-a^2k^2)x^2-2a^2knx-(n^2+b^2)a^2=0$

Ker iščemo pogoj, pri katerem je premica tangenta hiperbole, mora biti diskriminanta kvadratne enačbe enaka $0$.

$4a^4k^2n^2-4a^2(b^2-a^2k^2)(n^2+b^2)=0$

Enačbo uredimo in dobimo $a^2k^2-b^2=n^2$.

Tangentni  pogoj za hiperbolo: $$a^2k^2-b^2=n^2$$

Naj bosta $A(x_1,y_1)$ in $B(x_2,y_2)$ točki na paraboli, dani z enačbo $y^2=2px$.

Enačba sekante skozi točki $A$ in $B$: $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Ker $A$ in $B$ ležita na paraboli, velja: $$y_1^2=2px_1$$ $$y_2^2=2px_2$$

Enačbi odštejemo: $y_2^2-y_1^2=2p(x_2-x_1)$ oz. $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2p}{y_1+y_2}$.

To upoštevamo v enačbi sekante: $$y-y_1=\frac{2p}{y_1+y_2} (x-x_1)$$

Ko se točka $B$ premakne v točko $A$, sekanta preide v tangento. Tedaj se vrednost $x_2$ spremeni v $x_1$, vrednost $y_2$ pa v $y_1$.

Enačba tangente: $y-y_1=\frac{2p}{2y_1} (x-x_1)$

Enačbo preuredimo: $y\,\!y_1-y_1^2=px-px_1$.

Upoštevamo, da je $y_1^2=2px_1$: $y\,\!y_1=p(x+x_1)$.

Enačba tangente: $$y\,\!y_1=p(x+x_1)$$

$y^2=2p\frac{y-n}{k}$

$ky^2=2py-2pn$

$ky^2-2py+2pn=0$

Ker iščemo pogoj, pri katerem je premica tangenta parabole, mora biti diskriminanta kvadratne enačbe enaka $0$.

$4p^2-8kpn=0$

Enačbo uredimo in dobimo $p=2kn$.

Tangentni  pogoj za parabolo: $$p=2kn$$