Tangente stožnic

Naj bosta $A(x_1,y_1)$ in $B(x_2,y_2)$ točki na krožnici, dani z enačbo $x^2+y^2=r^2$.

Enačba sekante skozi točki $A$ in $B$: $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

Ker $A$ in $B$ ležita na krožnici, velja: $$x_1^2+y_1^2=r^2$$ $$x_2^2+y_2^2=r^2$$

Enačbi odštejemo: $y_2^2-y_1^2=-(x_2^2-x_1^2)$ oz. $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}$.

To upoštevamo v enačbi sekante: $$y-y_1=-\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} (x-x_1)$$

Ko se točka $B$ premakne v točko $A$, sekanta preide v tangento. Tedaj se vrednost $x_2$ spremeni v $x_1$, vrednost $y_2$ pa v $y_1$.

Enačba tangente: $y-y_1=-\frac{2x_1}{2y_1} (x-x_1)$

Enačbo preuredimo: $y\,\!y_1+xx_1=x_1^2+y_1^2$.

Upoštevamo, da je $x_1^2+y_1^2=r^2$: $y\,\!y_1+xx_1=r^2$.

Enačba tangente: $$xx_1+y\,\!y_1=r^2$$

$x^2+(kx+n)^2-r^2 =0$

$(1+k^2)x^2+2knx+(n^2-r^2)=0$

Ker iščemo pogoj, pri katerem je premica tangenta krožnice, mora biti diskriminanta kvadratne enačbe enaka $0$.

$D=4k^2n^2-4(1+k^2)(n^2-r^2)$

$4k^2n^2-4n^2+4r^2-4k^2n^2+4k^2r^2=0$

$r^2k^2+r^2=n^2$

$r^2(k^2+1)=n^2$

Tangentni  pogoj za krožnico: $$r^2(k^2+1)=n^2$$