Elipsa in graf funkcije

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Iz enačbe elipse $ \displaystyle \frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ izrazi $y$.
Kdaj tako dobljena krivulja predstavlja enačbo grafa funkcije? Ponovi s pomočjo aktivne slike spodaj.

$\displaystyle \frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$

$\displaystyle \frac{(y-q)^2}{b^2}=1-\frac{(x-p)^2}{a^2}$

$\displaystyle (y-q)^2=\frac{b^2}{a^2}\left(a^2-(x-p)^2\right)$

$\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{a^2-(x-p)^2}+q$

Dobimo dve krivulji

$\displaystyle y= \frac{b}{a}\sqrt{a^2-(x-q)^2}+q$
in
$\displaystyle y= -\frac{b}{a}\sqrt{a^2-(x-p)^2}+q$,

ki predstavljata zgornjo in spodnjo polovico elipse.

Ti dve krivulji sta grafa funkcij:

$\displaystyle f(x)=\frac{b}{a} \sqrt{a^2-(x-p)^2}+q$

$\displaystyle g(x)=-\frac{b}{a}\sqrt{a^2-(x-p)^2}+q$

Na sliki predstavi graf funkcije s predpisom $f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{4-(x+3)^2}-5.$

Zgled

Določi definicijsko območje, zalogo vrednosti in nariši graf funkcije s predpisom $f(x)=-\frac{4}{3}\sqrt{5-4x-x^2}-2$.
Nalogo reši tudi z izbranim programom, ki omogoča delo s krivuljami v pravokotnem koordinatnem sistemu.

Enačbo grafa funkcije najprej preoblikujemo:

$y=-\frac{4}{3}\sqrt{5+4x-x^2}-2$
$y+2=-\frac{4}{3}\sqrt{5+4x-x^2}/()^2$
$(y+2)^2=\frac{16}{9}(5+4-4+4x-x^2)$
$(y+2)^2=\frac{16}{9}(9-(4-4x+x^2))$
$(y+2)^2=\frac{16}{9}(9-(x-2)^2)$
$(y+2)^2=16-\frac{16}{9}(x-2)^2$
$\frac{16}{9}(x-2)^2+(y+2)^2=16/:16$
$ \displaystyle \frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{16}=1$

Najprej narišemo elipso, nato pa označimo spodnjo polovico elipse, ki predstavlja graf funkcije $f(x)$.
Z grafa lahko preberemo tudi definicijsko območje in zalogo vrednosti: ${\cal D}_f=[-1,5]$, ${\cal Z}_f=[-6,-2]$.

Na sliki spodaj je graf funkcije $f(x)$ narisan z uporabo programa GeoGebra.

Vidimo, da elipso lahko narišemo tudi kot unijo grafov funkcij $f(x)$ in $g(x)$, kot je prikazano na sliki.

Tako si pomagamo pri risanju krivulj s tistimi programi, ki ne omogočajo vnosa implicitno podanih krivulj.

Zgled

Zapiši predpis funkcije, katere graf je na sliki. Upoštevaj, da je krivulja na sliki del grafa elipse.
a)

b)

Enačba elipse: $ \displaystyle \frac{(x+3)^2}{16}+\frac{(y-3)^2}{4}=1$

Predpis funkcije: $f(x)= -\frac{1}{2}\sqrt{7-6x-x^2}+3$

Enačba elipse: $ \displaystyle \frac{(x-4)^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

Predpis funkcije:
$ f(x)=\left\lbrace \begin{array}{} -2; \, x\in [-8,0) \\ \frac{2}{3}\sqrt{-7+8x-x^2};\, x\in [1,7] \end{array} \right. $

Elipsa in graf funkcije

Iz enačbe elipse $ \displaystyle \frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ izrazi $y$. Kdaj tako dobljena krivulja predstavlja enačbo grafa funkcije? Ponovi s pomočjo aktivne slike spodaj.

Zgled

Določi definicijsko območje, zalogo vrednosti in nariši graf funkcije s predpisom $f(x)=-\frac{4}{3}\sqrt{5-4x-x^2}-2$. Nalogo reši tudi z izbranim programom, ki omogoča delo s krivuljami v pravokotnem koordinatnem sistemu.

Zgled

Zapiši predpis funkcije, katere graf je na sliki. Upoštevaj, da je krivulja na sliki del grafa elipse. a) b)

Iz enačbe elipse $ \displaystyle \frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ izrazi $y$.
Kdaj tako dobljena krivulja predstavlja enačbo grafa funkcije? Ponovi s pomočjo aktivne slike spodaj.

Določi definicijsko območje, zalogo vrednosti in nariši graf funkcije s predpisom $f(x)=-\frac{4}{3}\sqrt{5-4x-x^2}-2$.
Nalogo reši tudi z izbranim programom, ki omogoča delo s krivuljami v pravokotnem koordinatnem sistemu.

Zapiši predpis funkcije, katere graf je na sliki. Upoštevaj, da je krivulja na sliki del grafa elipse.
a)

b)