Numerična ekscentričnost elipse

$$ \varepsilon=\frac{e}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{1-\left( \frac{b}{a}\right)^2}$$

a) Če večamo velikost polosi $a$, se manjša razmerje $\frac{b}{a}$. Numerična ekscentričnost se približuje vrednosti $1$ in elipsa je čedalje bolj sploščena. Večjo numerično ekscentričnost imajo tiste elipse, ki so bolj sploščene.

b) Krožnica ima obe polosi enaki, $b=a$. $$ \varepsilon=\sqrt{1-\left( \frac{a}{a}\right)^2}=\sqrt{1-1}=0$$ Numerična ekscentričnost krožnice je $0$.

c) Numerična ekscentričnost elipse je manjša od $1$: $$0\leq \varepsilon <1$$

Enačbo $4x^2+9y^2=36$ preoblikujemo v $$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

a)
$a^2=9\Rightarrow a=\pm 3\Rightarrow a=3 \;(a>0)$
$b^2=4 \Rightarrow b=\pm 2\Rightarrow b=2\; (b>0)$

Temena: $T_1(3,0),\; T_2(0,2),\; T_3(-3,0),\; T_4(0,-2)$

b) $e^2=a^2-b^2\Rightarrow e=\pm \sqrt 5\Rightarrow e=\sqrt 5\; (e>0)$

Gorišči: $F_1(-\sqrt 5,0)$ in $F_2(\sqrt5,0)$

Na sliki je naloga rešena s programom GeoGebra.

a)

c)

Enačba elipse: $\displaystyle \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$

č)

$a+b=3 \Rightarrow b=3-a$
$e^2=a^2-b^2$
$\sqrt{3}^2=a^2-(3-a)^2$

Od tod izračunamo: $a=2$ in $b=1$
Enačba elipse: $\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$

d) Točka $A(1,-2)$ leži na elipsi: $\displaystyle \frac{1^2}{a^2}+\frac{(-2)^2}{b^2}=1$
Točka $B(-\sqrt 5,\sqrt 2)$ leži na elipsi: $\displaystyle \frac{(-\sqrt 5)^2}{a^2}+\frac{(\sqrt 2)^2}{b^2}=1$
Rešimo sistem enačb: $\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$  in $\displaystyle \frac{5}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1$

Od tod izračunamo: $a=3$ in $b=\frac{3\sqrt2}{2}$
Enačba elipse: $x^2+2y^2=9$

e) Točka $A(2,-1)$ leži na elipsi:

Točka $F(-\sqrt3, 0)$ je gorišče elipse: $e=\sqrt 3$

$e^2=a^2-b^2$
$(\sqrt 3)^2=a^2-b^2$
$3=a^2-b^2$

Rešimo sistem enačb:  $4b^2+a^2=a^2b^2$ in $3=a^2-b^2$

Od tod izračunamo: $a=\sqrt 6$ in $b=\sqrt 3$
Rešitev sistema je tudi $a^2=2$ ter $b^2=-1$, kar ne ustreza.

Enačba elipse: $\displaystyle \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$