Preproste trigonometrične neenačbe

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Zgled

Reši enačbe. Rešitve prikaži tudi na grafu funkcije $f(x)=\tan x$.

a) $\tan x=1$
b) $\tan x=-\frac{\sqrt 3}{3}$
c) $\tan x=3$
č) $\tan x=0$

$\tan x=1$
$x=\arctan 1+k\pi$
$x=\frac{\pi}{4}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$

Pomoč z enotsko krožnico:

Rešitve enačbe so abscise presečišč grafa funkcije $f(x)=\tan x$ in premice $y=1$.

$\tan x=-\frac{\sqrt 3}{3}$
$x=\arctan (-\frac{\sqrt 3}{3})+k\pi$
$x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$

Pomoč z enotsko krožnico:

Rešitve enačbe so abscise presečišč grafa funkcije $f(x)=\tan x$ in premice $y=-\frac{\sqrt 3}{3}$.

$\tan x=3$
$x=\arctan 3+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$

Rešitve enačbe so ničle funkcije $f(x)=\tan x$, ki so pri $x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Zgled

Na sliki je označena abscisa ene skupne točke grafa funkcije $f(x)=\tan x$ in premice $y=\sqrt{3}$.

Zapiši po velikosti še abscise preostalih skupnih točk premice in grafa funkcije na intervalu $[-2\pi, 3\pi]$. Znak minus piši v števec.

-5 $\pi$

-2 $\pi$

4 $ \pi$

7 $\pi$

Zgled

Reši enačbo $\sqrt 3\tan (2x-\frac{\pi}{4})=1$.

Enačbo preoblikujemo v enačbo $\tan (2x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt 3}{3}$ in uvedemo novo neznanko $2x-\frac{\pi}{4}=t$. Najprej rešimo enačbo $\tan t=\frac{\sqrt 3}{3}$.

$t=\arctan \frac{\sqrt 3}{3}+k\pi$
$t=\frac{\pi}{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$

Nato izračunamo $x$.
$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}$, $k\in \mathbb{Z}$

Zgled

Nariši graf ustrezne funkcije in reši neenačbo.

a) $\sin x < \frac{1}{2}$
b) $\cos x > -\frac{\sqrt 2}{2}$
c) $\tan x \leq 1$

$\sin x<\frac{1}{2}$

Rešitev je unija intervalov $(-\frac{7\pi}{6}+2k\pi, \frac{\pi}{6}+2k\pi)$, $k\in\mathbb{Z}$.

$\cos x>-\frac{\sqrt 2}{2}$

Rešitev je unija intervalov $(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi, \frac{3\pi}{4}+2k\pi)$, $k\in\mathbb{Z}$.

$\tan x\leq 1$

Rešitev neenačbe je unija intervalov $(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{4}+k\pi]$, $k\in\mathbb{Z}$.

Zgled

Reši enačbe. Rešitve prikaži tudi na grafu funkcije $f(x)=\tan x$. a) $\tan x=1$ b) $\tan x=-\frac{\sqrt 3}{3}$ c) $\tan x=3$ č) $\tan x=0$

Zgled

Na sliki je označena abscisa ene skupne točke grafa funkcije $f(x)=\tan x$ in premice $y=\sqrt{3}$.

Zgled

Reši enačbo $\sqrt 3\tan (2x-\frac{\pi}{4})=1$.

Preproste trigonometrične neenačbe

Zgled

Nariši graf ustrezne funkcije in reši neenačbo. a) $\sin x < \frac{1}{2}$ b) $\cos x > -\frac{\sqrt 2}{2}$ c) $\tan x \leq 1$

Zgled

Nariši graf funkcije sinus in reši sistem neenačb $-\frac{1}{2}\leq \sin x<\frac{\sqrt 2}{2}$. Rešitve označi tudi na sliki.

Reši enačbe. Rešitve prikaži tudi na grafu funkcije $f(x)=\tan x$.

a) $\tan x=1$
b) $\tan x=-\frac{\sqrt 3}{3}$
c) $\tan x=3$
č) $\tan x=0$

Nariši graf ustrezne funkcije in reši neenačbo.

a) $\sin x < \frac{1}{2}$
b) $\cos x > -\frac{\sqrt 2}{2}$
c) $\tan x \leq 1$