Osnovni izrek algebre

$p(x)=0$
$5=0$

Enačba nima rešitve.
Polinom $p$ nima ničel.

$q(x)=0$
$2x-3=0$
$2x=3$
$x=\frac {3}{2}$

Polinom $q$ ima ničlo $x=\frac{3}{2}$.

$r(x)=0$
$x^2-4x-5=0$
$(x-5)(x+1)=0$
$x_1=5, x_2=-1$

Polinom $r$ ima ničli $5$ in $-1$.

Trditev je pravilna.

Poljuben polinom stopnje $0$ je oblike $p(x)=c$, kjer je $c$ neko število, različno od $0$.
Ničle so rešitve enačbe $c=0$.
Ta enačba pa nima rešitev.

Trditev je pravilna.

Poljuben polinom $1$. stopnje je oblike $p(x)=ax+b$, kjer število $a$ ni enako nič, saj sicer stopnja polinoma ni $1$, ampak $0$.
Ničla je rešitev enačbe:
$ax+b=0$
Enačbo preoblikujemo.
$ax=-b$
To enačbo pa lahko vedno delimo z $a$, saj je $a$ različen od nič.
$x=-\frac{b}{a}$

Ali bi znal oblikovati splošnejšo hipotezo?

Trditev je pravilna.

Poljuben polinom $2$. stopnje je oblike $p(x)=ax^2+bx+c$, kjer število $a$ ni enako nič, saj sicer stopnja polinoma ni $2$, ampak $1$ ali $0$.
Ničla je rešitev enačbe:
$ax^2+bx+c=0$
Rešitvi kvadratne enačbe izračunamo po obrazcu:
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$
• Če je $D>0$, dobimo dve različni realni rešitvi.
• Če je $D=0$, dobimo eno dvojno realno rešitev.
• Če je $D<0$, dobimo dve različni kompleksni rešitvi.

Torej v vsakem primeru dobimo vsaj eno ničlo.