Povzetek

Polarni koordinatni sistem je določen s polom $O$ in polarno osjo $p$. Točko v polarnem koordinatnem sistemu zapišemo z urejenim parom polarnih koordinat $\varphi$ (kot zasuka ali argument) in $r$ (oddaljenost od izhodišča): $T(r, \varphi)$, $0\leq\varphi<2\pi$. Polarna koordinata $\varphi$ za koordinatno izhodišče ni določena.

V polarni obliki lahko zapišemo tudi kompleksno število $z=x+iy$, $z\neq 0$.

Polarni koordinatni sistem in polarni zapis kompleksnega števila sta prikazana na aktivni sliki.

Množenje kompleksnih števil v polarni obliki $z_1=|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)$ in $z_2=|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)$:

$z_1z_2=|z_1||z_2|(\cos (\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))$

Potenciranje kompleksnih števil v polarni obliki (Moivrova formula):

$(|z|(\cos\varphi +i\sin\varphi))^n=|z|^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi),\ \ n\in\mathbb{Z}$

Enačba $z^n=1$, $n\in\mathbb{N}$, ima natanko $n$ korenov, ki jih imenujemo $n$-ti koreni enote:

$z_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin \frac{2k\pi}{n}$, $k=0, 1, 2 ... n-1$

Binomska enačba $z^n=a$, $n\in\mathbb{N}$, $a\in\mathbb{C}$ in $a\neq 0$, ima natanko $n$ korenov:

$z_k=\sqrt[n]{|z|}(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\sin \frac{\alpha+2k\pi}{n})$, $k=0, 1, 2 ... n-1$

<NAZAJ

>NAPREJ163/610