Sinus polovičnega kota

Obrazec za kosinus dvojnega kota že poznamo. Zapiši ga samo s kotno funkcijo sinus. Pomagaj si s Pitagorovo zvezo.

Iz te enakosti izrazi $\sin x$.

Če nadomestimo $2x$ z $\alpha$, moramo potem namesto $x$ pisati $\alpha/2$. Dobimo obrazec za sinus polovičnega kota, predznak pa je odvisen od velikosti kota $\alpha/2$.

$$\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}$$

Zgled

Izračunajmo sinus $30°$ po tem obrazcu. Vzamemo torej $\alpha=60°$ in izberemo pozitiven predznak, saj leži $30°$ v prvem kvadrantu.

$\displaystyle \sin 30°=\sin \frac{60°}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos 60°}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

Pri uporabi obrazca za sinus polovičnega kota se moramo vsakokrat odločiti za ustrezen predznak. Ta je odvisen od kvadranta, v katerem leži opazovani kot. Če kot $\alpha$ leži v tretjem kvadrantu, leži njegov polovični kot v drugem kvadrantu. Premislimo, zakaj je tako.
$$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \; /:2\quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$$

V spodnjo tabelo vpiši kvadrant in predznak sinusa.

$\alpha$	I	II	III	IV
$\alpha/2$	I	I	II	II
$\sin (\alpha/2)$	+	+	$+$	+

Svoje ugotovitve lahko preveriš ob enotski krožnici; premikaš lahko modro točko.

<NAZAJ

>NAPREJ89/610