Ekstremalni problemi

Če ugotavljamo, kje funkcija doseže največjo oziroma najmanjšo (ekstremno) vrednost in kolikšna ta vrednost je, pravimo, da rešujemo EKSTREMALNI PROBLEM.

Ponovi bistveno o ekstremu kvadratne funkcije.
a) Funkcija $f(x)=3x^2-5x+2$ doseže v svojem temenu:

največjo funkcijsko vrednost.

najmanjšo funkcijsko vrednost.

b) Funkcija $f(u)=-2(u-3)^2+6$ doseže največjo vrednost:

$6$ pri $u=3$.

$6$ pri $u=0$.

c) Funkcija $g(t)=a(t-p)^2+q$ $(a<0)$ doseže:

največjo vrednost $q$ pri $t=p$.

najmanjšo vrednost $q$ pri $t=p$.

Kadar iščemo ekstrem kvadratne funkcije, jo zapišemo v temenski obliki, $f(x)=a(x-p)^2+q$, in sklepamo:
Za $a<0$ doseže funkcija pri $x=p$ največjo vrednost $q$.
Za $a>0$ doseže funkcija pri $x=p$ najmanjšo vrednost $q$.

Ekstrem kvadratne funkcije $T(p,q)$ lahko poiščemo tudi z obrazci $ p=-\frac{b}{2a}$ in $q=-\frac{D}{4a}$, kjer je $D=b^2-4ac$.

Trikotno okno z enako dolgimi stranicami zasenčimo s pravokotnim kosom platna. Izračunaj dimenziji platna, da bo zasenčena površina največja možna.

a) Pomagaj si z drsnikom na aktivni sliki (levo) in izrazi širino ter višino pravokotnega platna s spremenljivko $x$.

b) Izrazi z $x$ ploščino pravokotnega platna $S$. Grafično predstavitev funkcije $S(x)$ si lahko ogledaš na zgornji aktivni sliki (desno).

c) Računsko razišči, kdaj funkcija $S(x)$ doseže maksimalno vrednost. Rezultat primerjaj na zgornji aktivni sliki (desno).

>NAPREJ525/703