Izpeljava kosinusnega izreka

Naučili se bomo, kako izračunati tretjo stranico v trikotniku, v katerem poznamo stranici in kot, ki ga oklepata.

V spodnjem trikotniku poznamo stranici $c$ in $b$ ter kot $\alpha$. Želimo izračunati stranico $a$.

Do rešitve lahko pridemo v nekaj korakih.

Preriši trikotnik v zvezek, vriši višino na osnovnico $c$. Nožišče razdeli stranico $c$ na dela, ki ju označimo z $a_{1}$ in $b_{1}$.

Skupaj s sošolcem razmislita in uporabita, kar smo se naučili o kotnih funkcijah v pravokotnem trikotniku, ter izračunajta $a_{1}, b_{1}, v_{c}$ in $a$.

Opisan računski postopek je sorazmerno dolg. Celoten postopek lahko povzamemo v enem obrazcu, tako da uporabimo le dane podatke $b$, $c$ in $\alpha$.
$a^2=v_{c}^{2}+b_{1}^{2}=v_{c}^{2}+(c-a_{1})^{2}=$

$=(b\sin\alpha)^{2}+(c-b\cos\alpha)^{2}=$

$=b^{2}\sin^{2}\alpha+c^{2}-2bc\cos\alpha+b^{2}\cos^{2}\alpha=$

$=b^{2}(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)+c^{2}-2bc\cos\alpha=$

$=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha$

Dobljeni zvezi rečemo kosinusni izrek: $$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c\cos\alpha,$$ kjer sta $b$ in $c$ stranici trikotnika, ki oklepata kot $\alpha$, $a$ pa je stranica nasproti kota $\alpha$.

<NAZAJ

>NAPREJ198/703