Prostornina sestavljenih teles

Od prostornine valja odštej prostornino stožca. Z $V_1$ označimo prostornino valja, z $V_2$ označimo prostornino stožca.

$V=V_1-V_2$

Prostornina valja $V_1=\pi r^2v$.

$V_1=\pi \cdot (4\,{\rm cm})^2\cdot 8\,{\rm cm}$

$V_1\doteq 402 \,{\rm cm^3}$

Prostornina stožca $V_2=\displaystyle \frac {\pi r^2v}{3}$.

$V_2=\displaystyle \frac {\pi (4\,{\rm cm})^2\cdot 8\,{\rm cm}}{3}$

$V_2\doteq 134 \,{\rm cm^3}$

$V\doteq 402\,{\rm cm^3}-134 \,{\rm cm^3}$

$V\doteq 268\,{\rm cm^3}$

 Prostornina preostalega dela valja je približno $268\,{\rm cm^3}$.

Nalogo lahko rešiš krajše.

Valj in stožec sta enako visoka in imata enaki osnovni ploskvi, zato je prostornina stožca enaka $\frac {1}{3}$ prostornine valja.  Prostornina preostalega dela valja je enaka $\frac {2}{3}$ prostornine valja. Valj je enakostraničen, zato je njegova prostornina enaka $2\pi r^3\doteq 402\,{\rm cm^3}$.

Prostornina preostalega dela valja je $\frac {2}{3}\cdot 402\,{\rm cm^3}\doteq 268\,{\rm cm^3}$.

Prostornina vrtenine je enaka vsoti prostornin obeh stožcev. Stožca imata enako prostornino, zato zapišemo krajše $V =2V_1$.

$V_1 =\frac {\pi r^2v}{3}$ 

$V_1=\displaystyle \frac {\pi (3\,{\rm cm})^2\cdot 3\,{\rm cm}}{3}=9\pi\,{\rm cm^3}$

$V= 2\cdot 9\pi \,{\rm cm^3}\doteq 56,5\,{\rm cm^3}$ 

Prostornina vrtenine, ki jo sestavljata enako velika stožca, je približno $56,5\,{\rm cm^3}$.

Prostornino vrtenine lahko zapišemo najprej kot funkcijo stranice $a$ kvadrata in nato izračunamo njeno prostornino.

$V=2\cdot \displaystyle \frac {\pi r^2v}{3}$,    kjer je $r=\displaystyle \frac {d}{2}=\displaystyle \frac {a\sqrt{2}}{2}$ in $v=r$.

$V= 2\cdot \displaystyle \frac {\pi r^3}{3}$

$V(a)= 2\cdot \displaystyle \frac {\pi \cdot (\frac{a\sqrt{2}}{2})^3}{3}$

$V(a)=\displaystyle \frac{\pi a^3\cdot \sqrt {2}}{6}$

$V=\displaystyle \frac{\pi\cdot (3\sqrt {2}\,{\rm cm})^3\cdot \sqrt {2}}{6}$

$V= \displaystyle \frac{108\pi\,{\rm cm^3}}{6}=18\pi\,{\rm cm^3}\doteq 56,5\,{\rm cm^3}$