Pitagorejske trojice

Racionalna števila
Računske operacije
Potence
Izrazi s spremenljivko
Enačbe in neenačbe
Večkotniki
Odvisnost količin in sorazmerja
Podatki
Krog in krožnica
Pitagorov izrek
Kocka in kvader

Narisan je pravokotni trikotnik. Zapisana so naravna števila. Izberi take trojice naravnih števil, ki so lahko merska števila dolžin stranic. Povleci jih v polje pod trikotnikom. Utemelji izbiro.

Za dolžine stranic v pravokotnem trikotniku velja Pitagorov izrek. Uporabi ga.

V polje lahko povlečeš trojico števil $3$, $4$ in $5$. Za to trojico števil velja $5^2=3^2+4^2$. V polje lahko povlečeš tudi trojico števil $5$, $12$ in $13$, saj tudi za to trojico velja $13^2=5^2+12^2$. V polje lahko povlečeš vsako trojico števil $a$, $b$ in $c$, za katero velja $c^2=a^2+b^2$. Pri tem je število $c$ največje v trojici števil.

Že stari narodi so vedeli, da je trikotnik, katerega dolžine stranic so $3$, $4$ in $5$ enot, pravokoten. Vedeli so tudi, da ta zveza velja za vse večkratnike te trojice števil, torej, da so pravokotni tudi trikotniki z dolžinami stranic $6$, $8$ in $10$ enot ali $9$, $12$ in $15$ enot ...

Pitagorejska trojica naravnih števil $a$, $b$, $c$ predstavlja dolžine stranic pravokotnega trikotnika. Dolžine stranic pitagorejskega trikotnika so števila pitagorejske trojice.

Zgled

V zvezek nariši trikotnik z dolžinami stranic $15\,\rm{mm}$, $36\,\rm{mm}$ in $39\,\rm{mm}$. Kako bi preveril ali je trikotnik pravokoten?

Ali so dolžine stranic pitagorejska trojica? Pomagaj si z računalom.

Za merska števila zapišemo Pitagorov izrek.

$39^2=36^2+15^2$

$1521=1296+225$

$1521=1521$

Ker enakost drži, je trikotnik z dolžinami stranic $15\,\rm{mm}$, $36\,\rm{mm}$ in $39\,\rm{mm}$ res pravokotni trikotnik.

Zgled

Z uporabo pitagorejske trojice $3$, $4$, $5$ na zelenici pred hišo ali na bližnjem travniku zakoliči pravokotni trikotnik. Potrebuješ tri količke, vrvico in meter.

Izberi izhodiščno točko in postavi prvi količek. V izbrano smer napni vrvico v dolžini hipotenuze in postavi drugi količek. Iz krajišč hipotenuze napni vrvici z dolžinama katet. Tretji količek moraš postaviti na presečišču vrvic z dolžinama katet.

Nekoč so pri postavljanju svetišč in piramid potrebovali veliko znanja geometrije. Ko so morali zakoličiti tloris za kakšno pravokotno stavbo, so naredili takole: iz napete vrvi, z vozli razdeljene na tri dele, ki so bili dolgi $3$, $4$ in $5$ enot dolžine, so naredili trikotnik. Vedeli so, da je tam, kjer se stikata stranici dolgi $3$ in $4$ enote, pravi kot.

$a$	$b$	$c$
$3$	$4$	$5$
$5$	$12$	$13$
$8$	$15$	$17$
$7$	$24$	$25$
$20$	$21$	$29$
$12$	$35$	$37$
...	...	...

Pitagorejske trojice

Zgled

Zgled

V zvezek nariši trikotnik z dolžinami stranic $15\,\rm{mm}$, $36\,\rm{mm}$ in $39\,\rm{mm}$. Kako bi preveril ali je trikotnik pravokoten?

Zgled

Z uporabo pitagorejske trojice $3$, $4$, $5$ na zelenici pred hišo ali na bližnjem travniku zakoliči pravokotni trikotnik. Potrebuješ tri količke, vrvico in meter.

Zgled

Ali je trikotnik z dolžinami stranic $9\,\rm{m}$, $40\,\rm{m}$ in $41\,\rm{m}$ pravokotni trikotnik?

Zgled